ひねもすのたのた

とりあえず日常かな

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日曜化学実験室

雨続きの先日、ようやく晴れた日曜にミカンが外階段の近くでふわふわした白い粉を見つけた。
「ねえねえこれなあに?」というので、相方がミカン用の百科事典を出してきた。

「階段は何でできてる?」
「コンクリート!」
「そう、コンクリートと鉄筋だよね、じゃあコンクリートって探してごらん」

「あったー」
「コンクリートは何でできてる?」
「砂と砂利とセメントー」

「砂と砂利は何色?」
「灰色~」
「じゃ白いのは?」
「セメントー」

「じゃセメント調べてごらん」
「セメントは石灰と粘土でできてるー」
「じゃ白いのは?」
「石灰ー」

今度は石灰の項目を家族3人頭を寄せて調べる…
子供用の百科事典でもサンゴや貝殻などからできたとか、
それなりに書いてあった。

「じゃあ白いのは石灰?」
「うーん、とーちゃんはね、たぶん中和反応が起こったんだと思うよ」
「何それ?」
「すっぱい雨が降ってきて、石灰が溶けたんだよ」

ということで、家にあったpHのユニバーサル試験液で調べてみることに…

粉は細かく、よく水に溶けた。
そして試験液を加えると、…おお濃紺!
アルカリ性!
といっても、粉の重さを正確に測定していないので、
液性はわかってもpHはわからない。

石灰(CaO)の可能性はあるが、いったん溶けて浮き上がってきたことを考えると
どこかで二酸化炭素(というか炭酸)が関与して炭酸カルシウムになったという結論に達した。

その後はまあ予想どおり、レモン水を入れたり、重曹を加えたりして楽しんだw
水道水は弱酸性。
これは塩素(次亜塩素酸?)のせいかな?

しかし、コンクリートが劣化するのは知っていたが、あんなに派手に溶けるとは。
マンションの寿命が短いのがよくわかるなあ…。

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Comment[この記事へのコメント]

生石灰 

  • ×第二迷信 
  • URL 
  • at 2010.03.24 00:20 
  • [編集]
海苔の乾燥剤が生石灰CaOです。

水分を吸うと、消石灰になります。
(乾燥してるのは「粒」状ですが、消石灰になると「粉」になるので、すぐわかります)
 シリカゲルが「物理的」に水分を吸うのに対し、生石灰は「化学的」ですので、吸った水分を離しません。

で、水でこねて固めるコンクリートに「生石灰」は存在しないはず。
(消石灰は水に溶けるので、コンクリートに使えません…)

NoTitle 

  • Bakkey 
  • URL 
  • at 2010.03.24 20:45 
  • [編集]
 炭酸カルシュームだと思います。
おそらくご賢察のとおりエフロレッセンス現象(白華現象)により生じたものと推測されます。よく、コンクリート面のクラック(ひび割れ)部に白い物質が付着しているのを見かけることがあるとおもいますが、ご推察どおり
水と炭酸ガスとカルシュームの化合にょりできたものだと思われます。

じつは苦手分野 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.03.25 03:30 
  • [編集]
>粉は細かく、よく水に溶けた
 これが気になりますね.
 炭酸カルシウムはほとんど水に溶けません.

調べてみました 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.03.25 22:31 
  • [編集]
> 海苔の乾燥剤が生石灰CaOです。
×第二迷信 さん

付け焼き刃的に調べてみました。

もっとも一般的なものはポルトランドセメントのようで、
これは生石灰とケイ酸、アルミナが主成分だそうです。
で、CaOは単独ではなく複合酸化物を形成しており、
おっしゃるとおり水と反応します。
しかし、複合酸化物なので反応はそう単純ではないのですが、
ネットでは水和反応が起こって硬化するようですね。
いわゆる水和でよいのか、消石灰というかアルミニウムとの複塩になるのかそのあたりが
あいまいなんですけれども。

化学式だと
3CaO・Al2O3・3CaSO4・32H2O
なので、水和反応なのかなとも思ったのですが、
Ca6Al2(OH)12・24H2O〕(SO4)3・2H2O
こういう書き方もあるようです。

Re: NoTitle 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.03.25 22:38 
  • [編集]
Bakkey さん

とてもくわしそうなので上のコメに間違いありましたら、
ご指摘いただければうれしいです。


>エフロレッセンス現象(白華現象)
というのですね。
たしかにひび割れに白い物質がよく付着していますね。

調べてみたら、
エフロレッセンス自体は建造物への影響はないが、
その原因は建造物を劣化させている可能性がある
という記述があり…。よく見かける場合は要注意ということですか…

うーむ 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.03.25 22:54 
  • [編集]
Ladybird さん

また難しいことを…

>  炭酸カルシウムはほとんど水に溶けません.

たしかに難溶性なんですよね。
水酸化カルシウムの方が溶けるからそっちかなあ?
弱酸性の水だったから溶けたとか…
でもそれであれば、そんなにアルカリ度高くなりませんものね。
じゃあ次の実験は炭酸水と混ぜるとか、呼気を吹き込むかなあ…。
ちょっとでも沈殿物ができれば、水酸化カルシウム、と。

やっぱり苦手分野 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.03.27 03:56 
  • [編集]
 強アルカリ性の生成物がいろいろあるとも思えないので,水酸化カルシウムではないでしょうか.または水酸化カルシウムと炭酸カルシウムの混ざった粉末.
 だとしたら,えあしゃさんはめちゃくちゃ危険な家に住んでいるということかも(と煽ってみる).

 と考えるとして,問題は水酸化カルシウムがどういう反応で生成されたか?ですね.手元の本(高校化学の参考書)によると,生石灰は空気中の炭酸ガスや水蒸気を吸って自発的に炭酸カルシウムや水酸化カルシウムになるそうですが...
 やっぱり難しい.
 

Re: やっぱり苦手分野 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.03.28 22:41 
  • [編集]
Ladybird さん

溶液は強アルカリですが、濃度が高いので、粉末そのものが強アルカリかどうかは何とも。

> えあしゃさんはめちゃくちゃ危険な家に住んでいるということかも(と煽ってみる).

ほげーーー いや、ときどき近くの工場からのにおいがね、すごいわけです…
そのうちバタっといくかも、なんてマジに考えます。
コンクリートがそういう化学物質を吸収していたらこわいなあ。
(どういう反応を起こしているかわからないから)


> 空気中の炭酸ガスや水蒸気を吸って自発的に炭酸カルシウムや水酸化カルシウムになるそうですが...

そうですね。ただ、コンクリートの中ではすでに水和してるらしいんです。
つまり、セメントが固まる段階(水を加えて放置)でCaOからCa(OH)2に。
ただセメントは複塩みたいなので、実際にどういう構造
(結晶構造というか、イオンの配置等々)になっているのかよくわからないです。
身の回りの化学で、普通にある物質なのに案外難しいもんだなあ、と。
いや、私が勝手に難しいと思い込んでいるだけかも?

炭酸カルシウム 

  • ×第二迷信 
  • URL 
  • at 2010.03.29 01:27 
  • [編集]
元が珊瑚礁など由来の炭酸カルシウム・石灰岩層を、「酸性雨」(といっても、二酸化炭素ならたいした酸性ではない)が少しずつ溶かしたのが鍾乳洞で、
最結晶化したのが鍾乳石だ・・・

というのがありました。

イオン結合は、環境に影響されやすい、ということでしょうね。

Re: 炭酸カルシウム 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.03 21:57 
  • [編集]
×第二迷信 さん

レス遅くなって申し訳ありません。

鍾乳洞と鍾乳石と

>イオン結合は、環境に影響されやすい、ということでしょうね。

の関係がよくわからなくて。

鍾乳石は基本は炭酸カルシウムですよね?
ゆっくりと再結晶すれば整った結晶構造ができそうですが、
そういう話ですか?

カルシウムイオン 

  • ×第二迷信 
  • URL 
  • at 2010.04.04 16:21 
  • [編集]
イオン結合というのは、絶えず、「出入り」しようとしていて、
炭酸ガスを多く含む水の中では分離の方向に動いて「溶液」の中に出て行き、
鍾乳洞のように、空洞になっちゃって、炭酸イオンが大気中に出て行くと、また、少なくなった炭酸イオンをキープして結晶に・・・。

(目移りする美人がいなくなったら身を固めようという奴みたいなもん?)

 …ええかげんな化学教室で。(^^;)

Re: カルシウムイオン 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.07 22:43 
  • [編集]
×第二迷信 さん

春休み中で弁当作りに死んでます。レス遅くてすみません。

> イオン結合というのは、絶えず、「出入り」しようとしていて、

ああ、そういう話でしたか。
ありがとうございました^^

たまたまアレニウスについて調べていたんですが、
電離説も19世紀終わりに登場したんですね。
イオンの歴史もずいぶん最近なんだなーと思いました。
量子力学の登場とあまり変わらないなんて、ちょっと不思議な感じ。

科学史 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.04.16 02:42 
  • [編集]
 物理学と化学の歴史は面白いですね.19世紀は純理論よりは応用分野が大発展した時期というイメージがあります(<要確認).
 今の生物学がちょうどそういう時期なのでないか,と考えています.成果がはなばなしく喧伝される割に,現象を理解説明する概念枠はあまり変化していません.

数学史 

数学史では19世紀は厳密化の時代.17, 18世紀の解析学の著しい発展が数学にも物理にも大いに役立つ一方,「限りなく近い」という曖昧な概念に基いていたゆえにあちこちで矛盾がぽろぽろ出て来て,19世紀には厳密な基礎の上に解析学を再建することになります.
物理学史と数学史との関わり合いを考えると面白そうですね.

Re: 科学史 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.18 00:27 
  • [編集]
Ladybird さん

>  物理学と化学の歴史は面白いですね.19世紀は純理論よりは応用分野が大発展した時期というイメージがあります(<要確認).

たぶんそうではないかと思います。
少なくとも化学は電子説が確立するのが20世紀に入る前後で、
ってことはそれまではすべて経験則。
化学は電子の科学ですから。

物理も量子論と相対性理論が出てはじめていろいろなことが
説明できるようになってきたのでしょうし。
でも、量子論と相対性理論がいまだに整合性がとれていないって不思議です。

>  今の生物学がちょうどそういう時期なのでないか,と考えています.成果がはなばなしく喧伝される割に,現象を理解説明する概念枠はあまり変化していません.

生物学は混沌としていますよね。
いろいろなことがわかっていて、驚きの連続!という感じですが、
説明がすっきりしなかったり。

このあいだはじめて知ったのですが、
遺伝子におとらず、たんぱく質の情報をもたないRNAが重要な役割を果たしてきた、
という見方があるそうですね。

遺伝子の違いがこんなにわずかなのに生物間の違いがこんなに大きいのが不思議でしたが、
この見方なら納得できるなあ。
遺伝子だけならCエレガンスと人間だってたいして変わらないですよね?

Re: 数学史 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.18 00:32 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 数学史では19世紀は厳密化の時代.
そうなんですか!

> 17, 18世紀の解析学の著しい発展が数学にも物理にも大いに役立つ一方,「限りなく近い」という曖昧な概念に基いていたゆえにあちこちで矛盾がぽろぽろ出て来て,

数学でもそういう時代があったなんてちょっと不思議な感じもします。
数学って本当に建築物のようなイメージがあって、厳密な気がするので。

> 物理学史と数学史との関わり合いを考えると面白そうですね.

これはおもしろいですよね、きっと。
新しい数学の概念を追いかけるようにして物理の理論が登場しているそうですから。
リーマン幾何学が相対性理論の枠組みになっていたり。
行列力学が量子力学の基礎になっていたり。

それでいけば、上の相対性理論と量子力学の合体も何か新しい数学理論に
もとづいて完成するのかもしれませんね。
もうすでに何かそういう試みが始まっているのかもしれませんが、よく知りません…

科学史と数学史 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.04.18 05:13 
  • [編集]
 断片的に記憶している人名から,生年と没年をウィキで調べてみました.
ラグランジュ 1736 - 1813
ルジャンドル 1752 - 1833
ガウス 1777 - 1855
ガロア 1811 - 1832
リーマン 1826 - 1866
 う~ん.数学史は苦手かも.
 ガロアは「時代が求めた」才能だったんでしょうね.

 ついでに,とーとつですが,
ヘルムホルツ 1821 - 1894
ダーウィン 1809 - 1882
 鋭く急所をえぐり出すような仕事というより,全人的,総合的な学風という点で共通性があるように思います.

数学の危機 

数学史が苦手というのはLadybirdさんに限らないでしょう,大学でまともに教えてるところがあまりないです.研究者も少ないです.
教えてみて感じたことは,いまあるような数学が初めからあったかのように学生たちは錯覚していると言うことです.天から降ってきたものじゃあるまいし,人類が営々と築いてきたものなのですが,それが教えられていないから,えあしゃさんの
>数学って本当に建築物のようなイメージ
のような印象を皆が持ってしまうのです.
発展の歴史を現在という時点で切った断面は壮大な建築に見えます.
しかし,基礎をそのままにどんどん建て増していって砂上の楼閣になり崩壊寸前に基礎の補強を行うことで生き延びてきました.
数学の三大危機というのがあって,上に述べた解析学の矛盾は第二の危機です.

Leonhard Euler 

>Ladybirdさま
その人たちを挙げるならオイラーを入れて欲しいところです.L. Euler, 1707--1783.
「おいらも忘れないでね」とオイラーが (w

ガロアは本当に時代の求めた天才だと私も思います.行き詰まっていた代数学がコペルニクス的転回を遂げます.

リーマンの非ユークリッド幾何学なんか人々の生活には何の関わりもない抽象理論と思われていたであろうに,いまやカーナビに役立っているのだから,歴史は面白いものです.

オイラーとか 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.04.21 05:56 
  • [編集]
>オイラーを入れて欲しい
 本当ですね.大物を入れていませんでした.

>時代の求めた天才
 ガロアと同時代にアーベルという数学者もいますね.同じ時代に同じような才能.

-  天才が時代を作るのではない.時代が天才を求めるのだ. 
と言った人がいます.

>いまやカーナビに役立っている
 それは知りませんでした.

また 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.21 09:26 
  • [編集]
コメ承認制になっちゃいました。
今週中にエントリーあげるので、承認制解除はちと待ってくだしゃんせ。

Re: 科学史と数学史 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.21 22:05 
  • [編集]
Ladybird さん

ガロアといえば20歳で決闘して死んじゃった、ということしか浮かばない。
なんという才能の無駄遣いというか…。
たしか群論で有名でしたよね?
もっと長く生きたらどんなことをしたのでしょう。

> ヘルムホルツ 1821 - 1894
> ダーウィン 1809 - 1882
>  鋭く急所をえぐり出すような仕事というより,全人的,総合的な学風という点で共通性があるように思います.

ヘルムホルツは最近まで電磁波関係の仕事しか知らなかったのですが、
先日、眼や耳のしくみを物理学的に調べる研究をしていたと知ってびっくりしました。
有名な科学者は、自分の専門だけでなく(業績を残すかどうかは別として)
いろいろな分野に興味をもっているんだなあ、とつくづく。
(三ねんせいさんもそうだし)
なんというか、自然界の根幹のところを見ようとしているからかなあ。

Re: 数学の危機 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.21 22:17 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 人類が営々と築いてきたもの
そうですね。先日、ある科学者が数学も「人間の感覚に根ざしているのだ」と
書いていて妙に感動しました。

> 数学の三大危機というのがあって,上に述べた解析学の矛盾は第二の危機です.

そうなのですね。
数学史はおもしろそうです。
数学というと難しい、と思ってしまいますけれど、
歴史なら私にも勉強できそう。
第一と第二は何でしょう?

Re: Leonhard Euler 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.21 22:23 
  • [編集]
三ねんせいさん

> 「おいらも忘れないでね」とオイラーが (w

三ねんせいさんが親父ギャクをww
えーとオイラーってオイラー展開とかいろいろ名前が残っていますけど、
やっぱりケーニヒスベルクの橋ですよね。(と勝手に決める)
一筆書きの話で覚えましたw

> リーマンの非ユークリッド幾何学なんか人々の生活には何の関わりもない抽象理論と思われていたであろうに,いまやカーナビに役立っているのだから,歴史は面白いものです.

私もLadybirdさんといっしょにびっくり!

カーナビ 

>リーマン幾何学が相対性理論の枠組みになっていたり。
…と,えあしゃさんがすでに書いてますよね.
GPSで,高速度で回っている衛星との位置関係から自分の位置を割り出すのに,相対論的効果は無視できず,ユークリッド幾何学でなく相対論でつまりリーマンの幾何学で計算しなければならないそうです.

一般相対論 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.04.22 09:55 
  • [編集]
 なるほど,そういうことか.
 と,わかったような気になっていますが,じつは一般相対論は私にとって人智を越えた雲の上の世界です.

えあしゃさん
>遺伝子だけならCエレガンスと人間だってたいして変わらないですよね?
 そうなんですか? まあ生物としての基本は同じでしょうからね.
 ただ,生物に興味をもつ人は,その多様性にも関心があるわけです.多様性がもたらされるメカニズムというのは,昔風に言えば「発生学」に属しています.特に生物の「かたち」がどのようにできてくるのかという問題は,遺伝子レベルの研究によって,最近やっとその重要性が(そこに広大な未知の領域があることが)認識され始めたという状況でしょう.

Re: カーナビ 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.24 22:49 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 相対論的効果は無視できず,ユークリッド幾何学でなく相対論でつまりリーマンの幾何学で

おお、そういうことなんですね。
もともと軍用だそうですが、考えてみるとGPSってすごい技術ですよね。
搭載されている原子時計もものすごい精密だそうですし。

Re: 一般相対論 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.24 22:59 
  • [編集]
Ladybird さん


>  そうなんですか? まあ生物としての基本は同じでしょうからね.

えーと遺伝子が40パーセントくらい共通しているとか?
たいして変わらない、っていうほどじゃなかった^^;
でもずいぶん共通しているとは思います。

> 特に生物の「かたち」がどのようにできてくるのか

これは不思議ですよね。遺伝子の発現のタイミングが重要なようですが、
そう説明されてもやっぱり不思議です。
卵から幼虫になってサナギになって、それがチョウになったりして、
いったいそんなに精密に遺伝子がコントロールできるものなのかと思ってしまいます。
もともと化学反応は確率論的ところがありますから…。
でも酵素反応は特異性が高いから大丈夫なのかなあ。

GPSの時計 

今はカーナビに使われるGPSも元々は巡航ミサイルの誘導など軍事用ですね.
時計は誤差が0.2μs以内とのこと.五百万分の一秒って想像しにくいですね.

オイラーの業績 

>やっぱりケーニヒスベルクの橋ですよね。
そうです,ケーニヒスベルクつまりカリーニングラートの橋の問題です.これが位相幾何学やグラフ理論に発展します.
他にも e^{πi}+1=0 など重要な公式や定理などいっぱいあるのですけれど、多すぎて未だに全集の編纂も終わってないらしいです.

Re: オイラーの業績 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.04.27 23:20 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 時計は誤差が0.2μs以内とのこと.五百万分の一秒

うわーすごいですね。1秒狂うのに500万日ってことは…1万3000年以上!
こういう誤差になってくると、温度や真空や振動の管理の方が大変そうです。

> 多すぎて未だに全集の編纂も終わってないらしいです.

す、すごい、オイラー。
そのうち1つの業績だけでも、後世に名を残すことになったでしょうに。
いまオイラーが生きていたら何に取り組むでしょうね?

数学の三大危機 

>第一と第二は何でしょう?
第一と第三ですね?
数学の三大危機, the three crises of mathematics, どちらでググってもほとんど見つからないです.困ったことです.
第一はギリシャの数学で (1) 空間は限りなく分割できるのか,分割できない「アトム」があるのか? (2) 正方形の対角線の長さが整数の比で表せない,という二つの問題.
(2) は現代的に言えば無理数の発見だけれど,無理数を知らなかった人々にとっては比例量論の破綻です.
第三の危機は,第二の危機の解決からつながることなのですが,集合という概念が矛盾を含むことの発見です.
三つの危機のどれも「実数とは何か?」という問に深く関わります.

危機 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.04.30 03:07 
  • [編集]
 最近こういう思考をほとんどしてないので,なかなか話についていけません.しかし面白い.
 第一の危機 (2) は無理数のお話で,デデキントの切断とかいう話と共に読んだ記憶があります.「切断」と (1) の「分割」とが視覚的に似ているのは,理由がありそうですね.
 第三の危機は「自分自身を含む集合」とかいう話だったかな.
 これ以上書くとボロが出るな...

Re: 数学の三大危機 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.01 01:35 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 第一と第三ですね?

あ、失礼しました! 

>
> 第一はギリシャの数学で (1) 空間は限りなく分割できるのか,分割できない「アトム」があるのか?

えーとそれはアキレスと亀のパラドクスにも関係しているのでしょうか?
あの話はいつも気持ちが悪いのです。
相対性理論でブラックホールに落ちていく物体の時間が無限に引き伸ばされるというのと
同じ感覚があります。
外からの観察と違うというかなんというか。

> (2) は現代的に言えば無理数の発見だけれど,無理数を知らなかった人々にとっては比例量論の破綻です.

> 第三の危機は,第二の危機の解決からつながることなのですが,集合という概念が矛盾を含むことの発見です.

これは何かで読んだことがあります。デデキントでしたっけ?
あたりまえのことがあたりまえではなくなってしまって
すごく頭が混乱しました。
頭では理解できるんですが、心で納得できないのですよね。
数学者にはそういう折り合いをつける必要がない人が多いのかしら?

ご説明ありがとうございました。
数学史はおもしろいですね。

Re: 危機 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.01 01:41 
  • [編集]
Ladybird さん

>  第一の危機 (2) は無理数のお話で,デデキントの切断とかいう話と共に読んだ記憶があります.
あや、私はデデキントは第3の危機だとオモテタ><

こういう思考をするヒトって頭が5次元とか7次元構造になっていそうです。
脳のニューロンの電気信号もニューロンに沿って流れるんじゃなくて
あちこちをぴょんぴょん飛び石で走っているんでは…。

アキレスと亀 

>それはアキレスと亀のパラドクスにも
まさにそのパラドクスそのものが問題です.
現実にはアキレスは亀を追い越すはず,ということはあの論理で考えると有限時間内に無限に多くの点を通過しなくてはならないわけで,空間は限りなく分割できることになる.そうすると,大きさのない「点」をいっぱい集めたらせいの長さを生ずるのか,長さって何?というところに陥ります.

訂正 

× せいの長さを生ずる
○ 正の長さを生ずる

すみません.近ごろATOKが不機嫌で…

見えるけれど納得できない 

>頭では理解できるんですが、心で納得できないのですよね。
集合論の創始者カントールがそういうことをいってます.自分自身の発見した定理に対する感想.その定理は,次元の違う空間の点の間に一対一の対応ができるという事実です.例えば直線上の点のすべてと平面上の点のすべてとの間に,もれなく重複なく対応がつく.

>数学者にはそういう折り合いをつける必要がない人が多いのかしら?
どうなのでしょうね.私は,理性によって感性を修正することを繰り返してます.「無限」に対する感性を理性によって磨き上げておかないと,ものの本質が見えてきません.

視覚と論理 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.05.02 03:53 
  • [編集]
 ディドロが「盲目の幾何学者」の話を書いていたと思うけれど,昔の岩波文庫はわがやの地層を相当発掘しないと出てきません.
 ディドロは「ダランベールの夢」という本も書いていますね.読んでないけど(読んだかどうかさえ憶えてない).ダランベールはディドロのお仲間(百科全書派)の1人です.

心から納得するには 

>頭では理解できるんですが、心で納得できないのですよね。
>数学者にはそういう折り合いをつける必要がない人が多いのかしら?
心で納得しないと次へすすめません.どうやって納得するか考えます.そして,人々に納得させるにはどういう説明がよいか,考えます.理詰めで押し切ればよいと言うものではありません.
頭の良い人は,理性だけで数学ができると思い込み,形式論理だけで力任せに解決しようとして,挫折したり無意味なことをやったりします.頭の良い人の陥りやすい罠です:
http://www.mypress.jp/v2_writers/hotori347/story/?story_id=1639720

Re: アキレスと亀 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.10 00:06 
  • [編集]
三ねんせい さん

ずいぶんお返事遅くなって申し訳ありません。
連休から帰ってきたら、仕事が山のように届いていました(泣

> 大きさのない「点」をいっぱい集めたら正の長さを生ずるのか,長さって何?

うわーそこまで考えませんでしたが、たしかにそうですね。
長さを定義するには、0よりも大きい存在が必要になりますものね。
でも限りなく分割できるとしたら、無限に点が存在することになって
無限に点が存在するとしたら点に大きさがあるっていえるかっていうことに…。

うわーん、頭が混乱してきました。
無限によって物理的な概念まで揺らいできちゃうんですね。
すごい…

Re: 見えるけれど納得できない 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.10 00:19 
  • [編集]
三ねんせい さん

ATOKはときどきびっくりするような間違いをしてくれますよね^^
ときどき気づかず恥をかく目にあってますw

> 集合論の創始者カントールがそういうことをいってます.
あ、集合論はカントールでした!

> その定理は,次元の違う空間の点の間に一対一の対応ができるという事実です.例えば直線上の点のすべてと平面上の点のすべてとの間に,もれなく重複なく対応がつく.

ええっ? ええええっ?
これもアキレスのパラドクスに似てますね。
空間の点が無限に存在するとすれば、なぜそれが一対一で対応するっていえるんでしょう?
無限と無限は等しい存在といえるのか?
うわーわけわかんないです。

> 理性によって感性を修正することを繰り返してます.
>「無限」に対する感性を理性によって磨き上げて

すごい、それができるから数学者でいらっしゃるのですね。
そういえば、複雑な公式などをわけわからずに使っているときにふっと
その意味が見えた気がするときがあります。
あの感じにちょっと似ているのかな?

Re: 視覚と論理 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.10 00:22 
  • [編集]
Ladybird さん

>  ディドロが「盲目の幾何学者」の話を書いていた
おもしろそうですね。どうやって空間を理解していたのでしょう。
逆に3次元空間ではなく、多次元的な空間をイメージできたりするかも。

>  読んでないけど(読んだかどうかさえ憶えてない).
わかりました。Ladybirdさんは読んでないと思って同じ本を2冊買ってしまうタイプですね!?

Re: 心から納得するには 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.10 00:37 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 心で納得しないと次へすすめません.どうやって納得するか考えます.そして,人々に納得させるにはどういう説明がよいか,考えます.

そうなんですか。
どうやって納得するか、どうやって納得させるのか考える過程が重要なのでしょうね。
それによってまたその先の理論ややるべきことが見えてくるのかなあ?

> 頭の良い人は,理性だけで数学ができると思い込み,形式論理だけで力任せに解決しようとして,挫折したり無意味なことをやったりします.頭の良い人の陥りやすい罠です:

記事ありがとうございます。
そうですね、頭のよい人は駆け足で通り過ぎるので、
まわりの景色に重要なことが隠されていても気づかずに終わってしまいそうですね。
多くの科学的発見が偶然によって生まれていますが、
それはその科学者が偏見や思い込みをもたず、偶然を見逃さなかったためですものね。
頭のよすぎる人はすぐに次のことに進んで偶然を簡単に見逃しそうです。

理性だけでなく、感性を納得させなければいけないというのは、
いろいろな意味で重要なのですね。

理性と感性 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.05.10 04:30 
  • [編集]
>読んでないと思って同じ本を2冊買ってしまう
 という話ではなくて,ディドロの著作って,何というか,つまらなかったんです.読んでも何も残らなかった.

>「無限」に対する感性を理性によって磨き上げて
 昔(今も?),病理学者が細胞や病原体を判別した手法に似ているのかな,と思いました.条件を変えて何度も見ているうちに,「この細胞はこんなふうに見えるんだ」ということが,わかってくるのでしょう.そういう,いわば直観が大切で,それと同時に,なぜ今見えているものがそれなのかという「論理」も大切.
 話が噛み合ってないかもしれませんね(汗).

Re: アキレスと亀 

時間・空間とは何か,言い替えれば実数とは何かというのは,とても難しい問題なのです.解析学をやるときは,取り敢えず実数がわかった振りをしておくようにします(笑)

空間が,大きさのある「アトム」から成り立ってるとすると,亀に追いつくためにアキレスはアトムから隣のアトムへ瞬間移動しなくちゃ成らない.しかしアキレスがワープする世界では亀だってワープできるぞ,ということになってやはり困っちゃう.
アトムがあったら,あらゆるものの長さはアトムの長さの整数倍になって,都合いいんですけどね.
空間はいくらでも分割できてアトムはない.大きさゼロの「点」にまで分割できてしまう.

長さや面積が点の数で決まるんじゃなくて点の集まった「点集合」の構造の属性だとわかってきたのは近代のことです.

直観と論理と 

Ladybirdさん,
>そういう,いわば直観が大切で,それと同時に,
>なぜ今見えているものがそれなのかという「論理」も大切.

おっしゃるとおりです.直観による洞察と,それを人に納得させ得る論理と,両方の釣合が求められます.

円の弦の長さから弧の長さを求める,現代的に言えば arcsin(x) ですが,関孝和が努力して得られなかったのを,弟子の建部賢弘が arcsin(x) の2乗の整級数展開を発見して解決しました.のちにオイラーが同じ式を独立に発見してます.
関孝和があくまでも有限の式として表そうとしていたのに反して建部は無限級数になるのだと直観したのですが,「曲線の本質は尽きざることにあるのだからそれを表す数式もまた尽きざるものになる」という深い洞察を大きな喜びとともに述べています.

集合論にはデデキントも 

>あ、集合論はカントールでした!
デデキントも大きく貢献してますよ.集合の理論を創り上げたのはカントールだけれど,デデキントの考えに影響を大いに受けています.

Re: 理性と感性 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.12 22:38 
  • [編集]
Ladybird さん

> 読んでも何も残らなかった.
ああ、そうでしたか。ディドロ有名なのにね。でも私も有名な『文明の衝突』を読んで
心に残ったのが、マハティールが言った言葉だけでした。(←もう忘れた)
本人や本そのものが有名だからっていい本とは限らないんだよなあ。

> 条件を変えて何度も見ているうちに,「この細胞はこんなふうに見えるんだ」

ほおおおお
経験って、言葉にできなくても論理を形づくっていたりするんですよね、きっと。
でも本当は言葉にしなくてはいけないのでしょうが。

大きさ「ゼロ!」 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.12 22:45 
  • [編集]
三ねんせい さん

難しいです! ほんっと難しいです。
でも、聞いているだけですごくおもしろいです。
理解できているかどうかはわかりませんが、
それでもなんだかぞくぞくしてきます。

> 亀に追いつくためにアキレスはアトムから隣のアトムへ瞬間移動しなくちゃ成らない.

あ、たしかにそういうことになりますね。

> 大きさゼロの「点」にまで分割できてしまう.
> 長さや面積が点の集まった「点集合」の構造の属性

うーん、これがやっぱり不思議です。
点は大きさがゼロなのにどうしてそれが集まると長さや面積ができるんでしょう?
ルイス・キャロルは数学者でしたよね? アリスの世界に迷い込んだ気持ち…

Re: 直観と論理と 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.12 22:52 
  • [編集]

三ねんせい さん

> 建部は無限級数になるのだと直観したのですが,「曲線の本質は尽きざることにあるのだからそれを表す数式もまた尽きざるものになる」という深い洞察を大きな喜びとともに述べています.

和算すごいですね。
そしてこの頃から無限の概念があったなんて。
円や直線や曲線の本質、なんて考えたことありませんでしたが、
数学者はこうやって自分が何をしているのかをきちんと確かめているのですね。

ああっ こういう話をもっと早くに聞いていればもっと数学好きになったかも!?
というか、子供たちに小さい頃からこういう話を教えてあげたいなあ。

Re: 集合論にはデデキントも 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.12 22:54 
  • [編集]
三ねんせい さん

> デデキントも大きく貢献してますよ.集合の理論を創り上げたのはカントールだけれど,デデキントの考えに影響を大いに受けています.

ああ、よかった。間違いでもなかったのですね。
でも、単なる聞きかじりの断片だからこうなっちゃいます。反省。

無限から超限へ 

>空間の点が無限に存在するとすれば、なぜそれが
>一対一で対応するっていえるんでしょう?
>無限と無限は等しい存在といえるのか?
不思議ですよね.ちょっとした技巧で一対一対応ができちゃうんです.
しかし,無限がみんな同じというわけではない.例えば,有理数と無理数とどっちが多いかというと,同じじゃなくて,無理数が圧倒的に多い.
「限りがない」無限という消極的なとらえ方でなく「限りを超える」超限 (transfinite) を考えたところが Dedekind-Cantor の集合論の斬新なところです.大小比較したり足したり掛けたりの,超限の算術をカントールは創り上げてしまいます.

Re: 無限から超限へ 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.14 23:05 
  • [編集]
三ねんせい さん

> ちょっとした技巧で一対一対応ができちゃうんです.
ふわーそうなんですか。

> 無理数が圧倒的に多い.
これは直観的にわかりますね。直線の上をぽつんぽつんと有理数があって、
その間をずーっと無理数がつないでいる感じ。
ああっ でもそうすると有理数の点と無理数の点が隣り合って存在するのか、とか
隣り合うってどういう意味なんだろう、とか
やっぱり不思議になってきます。

> 「限りがない」無限という消極的なとらえ方でなく「限りを超える」超限 (transfinite) を考えたところが Dedekind-Cantor の集合論の斬新なところです.大小比較したり足したり掛けたりの,超限の算術をカントールは創り上げてしまいます.

すごいですね。
超限で算術ができるなんて!

実数は難しい 

整数なら隣の整数があるけれど,有理数や無理数には隣り合う有理数も無理数もないのです.その様子を厳密に言い表したのがデデキントの切断です.
有理数が二つあったら足して2で割っても有理数で,二つの間にありますよね.これを繰り返せばわかるように,二つの有理数の間に無限に多くの有理数があります.
しかし,無理数はもっと濃密にあります.

お隣さん 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.16 21:40 
  • [編集]
三ねんせい さん

隣り合う数字がないというのは不思議な感じ。
いえ、論理的にはわかるんですが、有理数が無理数より濃密でないなら
黒い直線の上に赤い点を散らすように有理数が存在してもよいように
思えてしまうのですよね。

でも、
> 二つの有理数の間に無限に多くの有理数
なのですね。
そして、線分の長さの中の有理数を比べると、無限は無限でも
長い線分の中の有理数の方が多いってことになるのか…。
うーむ難しい、そして深いですねえ。


実数の不思議 

まず,線分に含まれる点の数は,長さと無関係です.
そして,実数のほとんどすべては無理数であり,有理数は極めて希薄に分布してるに過ぎません.
直観ではなかなかつかみがたい謎の世界です.

Re: 実数の不思議 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.17 21:56 
  • [編集]
三ねんせい さん

> まず,線分に含まれる点の数は,長さと無関係です.

え゛ー そうなんですか!! びっくりです。
素数などもたくさん集まっているところもあれば
パラパラのところもあるそうですが、そのようなものなのでしょうか?

間違ったままだと悔しいので、無理矢理正しくしちゃおう。
ある線分(A)を含むさらに長い線分(B)を考えると、無理数はBの方が多い。
ならOKでしょうか?

> 直観ではなかなかつかみがたい謎の世界です.

本当です。まいった、と言いたいです^^
知れば知るほどわけがわからなくなりますねえ。
そこがおもしろいですが。

知るほど謎が増す 

線分に有理点も無理点もそれぞれむらなく分布しています.素数分布みたいな濃いところと薄いところというのはありません.
長さ (つまり線分の両端の点の間の距離) というのは点の数とは独立な概念で,線分上の点の数は長さに関わりなく一定です.有理点だけ数えても,無理点だけ数えても,長さに関わりなく一定.

まいりましたー 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.18 23:27 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 線分上の点の数は長さに関わりなく一定

ええええええーーーー 
これはもう頭が異次元です。
むらなく分布しているのに点の数は長さに関わりなく一定なんて
とても理解できません~

あ、それで直線上の点と平面の点が1対1で対応するなんていうことが
可能なんですね。
はい、完全降伏です(笑

ところで別の話なんですけど、
平面上の(あるいは3次元中の)曲線というのは
1次元なんですか、それとも2次元(あるいは3次元)なのでしょうか?
平面や空間の中で描かれる曲線ですから外から見れば
2次元とか3次元的存在なんでしょうけど、
曲線のある点をとったとき、次の点は1方向にしか存在していないんだから
1次元?なんて昔から悩んでいます。

次元 

まず,易しい方の問題.曲線は1次元です.それがどんな広がりを持つのかにかかわらず1次元です.
円や楕円や放物線などは平面に収まるけれど,結び目になっていると平面には収まらず (3次元の) 空間に置かなくてはなりません.それでも1次元です.
n次元の図形が(n+1)次元の空間の中に置けるとは限らないわけです.
ただし次元を厳密に定義しようとするとややこしい話しになります.

長さの違う線分 

では,カントールの考えを伝授しましょう.長い線分ABと短い線分CDがあるとして,この二つを平行におく.ACを結んでCの側へ延長し,BDを結んでDの側へ延長する.この2直線の交点をOとする.
さて,線分AB上の任意の点Pに対応して,点Qを次のように決める:Qは直線OPと線分CDの交点.
こうして決めたPとQとの対応は一対一,つまり線分AB上の点と線分CD上の点とはもれなく重複なく対応します.

む,難しい... 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.05.20 05:36 
  • [編集]
>次元を厳密に定義しようとすると
 ベクトルの一次独立だとか行列の階数だとかと関係しそうですね(忘却のかなた).

>PとQとの対応は一対一
 まるでゴムひも.
 いや,単なる印象です.



Re: 次元 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.20 22:32 
  • [編集]
三ねんせい さん

うわあ、ありがとうございます。

> どんな広がりを持つのかにかかわらず1次元です.

よかった、やっと長年の疑問が氷解しました!

> ただし次元を厳密に定義しようとするとややこしい話しになります.

3次元空間があたりまえの私にはそれ以上がどうしても想像できません。
次元の話もおもしろそう、でもすごくムズカシそう!

Re: 長さの違う線分 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.20 22:42 
  • [編集]
三ねんせい さん

図を描いてみました。
たしかに、点Pに対して点Qが決まるんですね。
そして逆に線分CD上の点Qを任意にとっても、それと対応する点Pが
重複せずにあるんですね。

でも、でも!
点を打つと線分ABの方は密なのに、CDの方はパラパラ。
直観的にはどうしてもCDの方にいっぱい点があるように思えちゃいます。

大きさのない点だから、なのかもしれないけど、
大きさのない点が大きさを作っちゃうのもフシギです。

Re: む,難しい... 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.20 22:44 
  • [編集]
Ladybird さん

>  ベクトルの一次独立だとか行列の階数

ふいいいいー (頭をかかえてうずくまる音)

>  まるでゴムひも.

ねえ、そんな感じですよね。
如意棒みたい。

大きさのない点から,長さが生まれる. 

長さが違っても点の数は同じ,狐につままれた感じでしょうか?
点には大きさがない,従って長さというのは点の大きさの積み重なってできたものではない,そこが納得しにくいところでしょうね.

次元 

次元をベクトルの一次独立とか行列の階数とかで扱えるのは「線型」なものつまり直線とか平面とかいう類のものです.
曲線が1次元で曲面が2次元とかいう話はもう少しめんどうです.曲がったやつは行列で表されないから.

Re: 次元 

  • Ladybird 
  • URL 
  • at 2010.05.21 03:03 
  • [編集]
>曲がったやつは行列で表されない

 ふいいいいー (私も)

Re: 大きさのない点から,長さが生まれる. 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.21 22:49 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 長さが違っても点の数は同じ,狐につままれた感じでしょうか?

ほんとにそんな感じです。
長くて点が同じなら、それだけ濃度は薄くなっているハズ!とどうしても…。
これ有限の長さの線分どうしじゃなくて、
無限の長さの直線でもやはり数が同じってことなのでしょうか?

> 点には大きさがない,従って長さというのは点の大きさの積み重なってできたものではない,

うーむ。長さとか空間の実体とは何なんでしょう…。難しい。
それに数学的空間と物理的空間って別モノなのでしょうか。
どんどんわからなくなっていきます。

Re: 次元 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.21 22:54 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 曲線が1次元で曲面が2次元とかいう話はもう少しめんどうです.

数学的にそういう定式化?があるんですね。
なんだか本当にアリスになってフシギの国に迷い込んだ気分です。

長さと点の数との謎 

線分を二つつないだら,長さはそれぞれの線分の長さの和になる.それなのに点の数は同じ,不思議ですよね.
実は,点の数も和になってるのです.ところが,超限の世界では,足したぐらいじゃ増えない.足し算で増えるほど小さくないのです.掛け算でさえ増えず,累乗でやっと増える.超限はそれほど大きいのです.
無限に長い直線でも,含まれる点の数は線分と同じです.

物理的な空間と数学的な空間 

物理はよくわからないけれど,数学の概念は物質の世界のことに縛られない自由なものです.それでも物理で数学が役立つのは,物理的な空間を数学的な空間で解釈するということかな.

Re: 長さと点の数との謎 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.22 22:45 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 実は,点の数も和になってるのです.
え、え、えええええ~

> 足したぐらいじゃ増えない.足し算で増えるほど小さくないのです.掛け算でさえ増えず,累乗でやっと増える
> 無限に長い直線でも,含まれる点の数は線分と同じです.

ああっ 本当に私の脳みそ(ぬか味噌用)では理解できない世界です。
フシギです。
無限に長い直線でも点の数は同じなんて…
よし、じゃあ無限に長い曲線ではどうですか?
……無限に長い直線と同じこと?

Re: 物理的な空間と数学的な空間 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.22 22:49 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 物理で数学が役立つのは,物理的な空間を数学的な空間で解釈するということかな.

やはりそういうことなのでしょうか。
他の宇宙では別の数学が成り立っていて、その宇宙では
別の物理法則がはたらいているのかもしれませんねえ。

点の個数 

線分上の点の個数と,無限に長い直線の上の点の個数と,平面全体の点の個数と,みな同じです.曲線上の点の個数もまた同じです.
いずれも「連続濃度」あるいは「連続体の濃度」と呼ばれる超限数になります.

Re: 点の個数 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.24 23:46 
  • [編集]
三ねんせい さん

> 線分上の点の個数と,無限に長い直線の上の点の個数と,平面全体の点の個数と,みな同じです.曲線上の点の個数もまた同じです.

そうか、平面と直線が同じなら曲線がそれより大きいはずはないですね。
でも、これらが全部同じなんて本当に信じられない感じです。

> いずれも「連続濃度」あるいは「連続体の濃度」と呼ばれる超限数になります.

ぐぐってみました。カントールが連続体仮説というのを提出したのですね。
連続体の濃度と可算濃度の間に超限数がない、というのもフシギですー

連続体仮説 

難しいことをお調べになりましたね.もちろんこれは仮説です.未だに解決されていません.解決が著しく困難であることだけははっきりしています.
実数の集合をいろいろ作ってみても可算濃度か連続体の濃度かどちらかになってしまい,その間の濃度の物は見つかってません.それゆえカントールが「それらの間の超限濃度はない」と予想したのは無理のないことです.
しかし連続体仮説は正しくないであろうという考えが現在の主流です.つまり,間の濃度があるだろうと思われているわけです.

Re: 連続体仮説 

  • えあしゃ 
  • URL 
  • at 2010.05.27 23:22 
  • [編集]
三ねんせい さん

ああそうか、仮説でまだ証明されていないのですね。

可算濃度と連続体の濃度のどちらかしか見つかっていないのに、
間の濃度もあるかもしれないのですね。
いったいどのような数なら間の濃度になるんでしょう。
私なんかが単純に考えると、無理数から“何か”を除いたものですが、うーん、
なーんにも思い浮かびません。
引き算で考えるところからして間違っているのかしら。

早く誰か解決して答を教えてくれるといいなあ。

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